再生過程の確率分布と再生関数の関係を解説！－畳み込み積分

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再生過程の再生関数は、到着間隔の確率分布を使って表すことができます。

再生過程の設定

イメージをしやすくするために、前回の設定を引き続き使います。

忙しい方のために簡単にまとめると、電車の到着を題材として

という風に変数を置きます。

到着間隔 $\{X_n\}$ の確率分布

駅同士の間隔は一定なので、ある電車が出発してから次の電車が到着するまでの間隔は独立同分布です：

$\{X_n{\}}_{n\ge 2}$ は独立同分布

そこで、対応する累積分布関数を

$$\mathrm{\forall }n\in \{2,3,\cdots \},F(t)=\mathbb{P}(X_n\le t)$$

とします。

ただし、電車の本数を数え始めたタイミングは

など様々に異なるので、$n=1$ だけは例外です。

そのため、$X_1$ の累積分布関数は $F$ とは違う文字を使って

$$A(t)=\mathbb{P}(X_1\le t)$$

と表します。

到着時刻（再生点）$\{Z_n\}$ の確率分布

到着間隔 $\{X_n\}$ と到着時刻 $Z_n$ の間には、

$$Z_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$$

という関係があります。

そのため $\{X_n\}$ の確率分布を使うと、 $Z_n$ の確率分布を求めることができます。

まず、方針を立てやすくするために $Z_2$ の確率分布を求めましょう。

$\{X_n\}$ が離散の場合

$X_1$ の確率質量関数を

$$a[k]=\mathbb{P}(X_1=k)$$

$X_2,X_3,\cdots$ の確率質量関数を

$$\mathrm{\forall }n\in \{2,3,\cdots \},f[k]=\mathbb{P}(X_n=k)$$

と置きます。

確率質量関数 $\mathbb{P}(Z_2=k)$

$\{X_n\}$ が離散のとき、$Z_2$ の確率質量関数は

$$\mathbb{P}(Z_2=k)=\sum _{i=0}^{k}a[k-i]f[i]=a\ast f[k]$$

となります。

累積分布関数 $\mathbb{P}(Z_2\le k)$

一方で、$Z_2$ の累積分布関数は

$$\mathbb{P}(Z_2\le k)=\sum _{i=0}^{k}A(k-i)f[i]=A⊛F(k)$$

です。

記号「$⊛$」は、確率質量関数を持つ任意の累積分布関数 $B(k),C(k)$ について

$$\begin{array}{rcl}B⊛C(k)& =& \sum _{i=0}^{k}B(k-i)C^{\prime }(i)\\ & =& \sum _{i=0}^k{B}^{\prime }(i)C(k-i)\end{array}$$

となる演算子です（スティルチェス畳み込みと呼ばれます）。

$\{X_n\}$ が連続の場合

$X_1$ の確率密度関数を

$$a(t)=\frac{d}{dt}\mathbb{P}(X_1\le t)=\frac{d}{dt}A(t)$$

$X_2,X_3,\cdots$ の確率密度関数を

$$\mathrm{\forall }n\in \{2,3,\cdots \},f(t)=\frac{d}{dt}\mathbb{P}(X_n\le t)=\frac{d}{dt}F(t)$$

とします。

確率密度関数 $f_{Z_2}(t)$

$\{X_n\}$ が連続のとき、$Z_2$ の確率密度関数は

$$\begin{array}{rcl}{f}_{Z_2}(t)& =& \frac{d}{dt}\mathbb{P}(Z_2\le t)\\ & =& {\int }_0^{t}a(t-u)f(u)du\\ & =& a\ast f(k)\end{array}$$

となります。

累積分布関数 $\mathbb{P}(Z_2\le t)$

また、累積分布関数は

$$\mathbb{P}(Z_2\le k)={\int }_0^{t}A(k-u)f(u)du=A⊛F(t)$$

です。

記号「$⊛$」は、確率密度関数を持つ任意の累積分布関数 $B(k),C(k)$ について

$$\begin{array}{rcl}B⊛C(k)& =& {\int }_0^{t}B(k-u)C^{\prime }(u)du\\ & =& {\int }_0^t{B}^{\prime }(u)C(k-u)du\end{array}$$

となる演算子です（スティルチェス畳み込みと呼ばれます）。

$\{Z_n\}$ の確率分布

以上をまとめると、$\{X_n\}$ が離散の場合も連続の場合も

と表せます。

これを使うと、$Z_3$ では

$$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(Z_3\le t)& =& \mathbb{P}(Z_2+X_3\le t)\\ & =& (A⊛F)⊛F(t)\\ & =& A⊛F⊛F(t)\end{array}$$

となって、$F$ が２回現れます。

そこで、「$⊛$」による $n$ 重の畳み込みを $F^{(n)}$ とすると

$$\mathbb{P}(Z_n\le t)=A⊛F^{(n-1)}(t)$$

となります。

この記法を使うと $n=1$ のとき $\mathbb{P}(Z_1\le t)=A⊛F^{(0)}(t)$ になるので、先ほどの結果と合わせるために特別に

$$F^{(0)}={\mathbb{I}}_{{\mathbb{R}}_{+}}(t)$$

とします。

再生関数と確率分布関数の関係

ここまでの内容を使うと、再生関数と確率分布関数の関係式を導くことができます。

そのために、まず再生過程 $M(t)$ について考えます。

再生過程 $M(t)$ と指示関数 ${\mathbb{I}}_{\{Z_i\le t\}}(Z_i)$

任意の $i\in \mathbb{Z}$ について、次のような指示関数を考えます。

$$\begin{array}{r}{\mathbb{I}}_{\{Z_i\le t\}}(Z_i)=\{\begin{array}{}1(Z_i\le t)\\ 0(Z_i>t)\end{array}\end{array}$$

これは、

する関数です。

これを用いると、時刻 $t$ までに到着した電車の本数を表す $M(t)$ は、

$$M(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathbb{I}}_{\{Z_i\le t\}}(Z_i)$$

と書けます。

再生関数 $m(t)$ と確率分布 $A(t),F(t)$

時刻 $t$ までに到着する電車の本数の期待値である再生関数 $m(t)$ は、上の指示関数を使うと

$$m(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}A⊛F^{(i-1)}(t)$$

であることが導けます。

まとめ

今回は、再生過程の確率分布や再生関数について数学的な観点から深掘りをしました。