ポアソン過程と再生過程の関係を１つずつ見ていく

どうも！初めましての方は初めまして、初心者のWebサイト勉強のとみーです！

ポアソン過程は、

をモデル化できる確率過程で、待ち行列理論でよく用いられます。

そして、このポアソン過程は再生過程（Renewal Process）と呼ばれる確率過程と密接な関係にあります。

もっと具体的にいうと、

という関係があります。

ポアソン過程の設定

まず、話をわかりやすくするために設定を明らかにしておきましょう。

$i$ 番目の客の到着時刻を $Z_i$ とすると、次の図のようになります。

このとき、$\mathrm{\Lambda }(t)$ はポアソン過程なので、ポアソン分布 $Pois(\lambda t)$ に従います。

つまり、

$\mathbb{P}(\mathrm{\Lambda }(t)=i)={\displaystyle \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^i}{i!}}$

となります。

ポアソン過程の到着間隔を考える

再生過程は、

を表す確率過程です。

ポアソン過程の話を再生過程の話に持っていくために、ここからは「到着時間」ではなく「到着間隔」を考えます。

$i-1$ 番目の到着と $i$ 番目の到着の間隔を $X_i$ とすると、次の図のようになります。

ポアソン過程が再生過程であることを確かめる

ポアソン過程が再生過程であることを確かめるために、

であることを見ていきましょう。

独立同分布であることをチェックするためには、そもそも到着間隔がどういう確率分布に従うのかを知る必要があります。

1. 確率分布が知りたい
2. 累積分布関数 $\mathbb{P}(X_i\le t)$ が分かればいい
3. 余事象を取った $\mathbb{P}(X_i>t)$ でも良い
4. $X_i>t$ がどういう状況か分かればOK

最初の到着 $X_1$ の確率分布を求める

まずは１番最初の到着 $X_1$ からいきましょう。

$X_1>t$ はどういう状況か

$X_1>t$ というのは、最初の到着が $t$ よりも後ということです。

言い換えると、時刻 $t$ の時点では誰も到着していない、つまり

と同値です。

$\mathbb{P}(X_1>t)$ を求める

よって

$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(X_1>t)& =& \mathbb{P}(\mathrm{\Lambda }(t)=0)\\ & =& e^{-\lambda t}\end{array}$

が成り立ちます。

累積分布関数 $\mathbb{P}(X_1\le t)$ を求める

上の結果の余事象を取ると、累積分布関数が求められます。

$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(X_1\le t)& =& 1-\mathbb{P}(X_1>t)\\ & =& 1-e^{-\lambda t}\end{array}$

確率分布を求める

実は、$F_X(x)=1-e^{-\lambda x}$ は、$\lambda >0$ をパラメータにもつ

の累積分布関数です。

式で書くと

ですね。

２回目の到着 $X_2$ の確率分布を求める

次に２回目の到着 $X_2$ について考えましょう。

$X_2>t$ はどういう状況か

$X_2>t$ というのは、２回目の到着間隔が $t$ よりも後ということです。

例えば、$t=5$ のとき

などが考えられ、実際にはもっとたくさんのケースがあります。

これを一般化すると、最初の到着時刻を $x$ としたときに、

となるケースがたくさんあるということです。

つまり、これをすべての $x$ について足し合わせれば $\mathbb{P}(X_2>t)$ が求められます。

$\mathbb{P}(X_2>t)$ を求める

ベイズの定理を使うと、以上の話は次のような積分を使って表せます。

$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(X_2>t)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(X_2>t\cap X_1=x)dx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(X_2>t|X_1=x)f_{X_1}(x)dx\end{array}$

$f_{X_1}$ は $X_1$ の確率密度関数です。

この式の中でわからないのは、$\mathbb{P}(X_2>t|X_1=x)$ ですね。

$X_2>t|X_1=x$ はどういう状況か

$X_2>t|X_1=x$ は、

ことを表します。

つまり、時間 $(x,x+t]$ での到着数は０、数式で書くと

です。

$\mathbb{P}(X_2>t|X_1=x)$ を求める

ポアソン過程の定常増分性から、$\mathrm{\Lambda }(x+t)–\mathrm{\Lambda }(x)$ は $\mathrm{\Lambda }(t)$ と同じ確率分布 $Pois(\lambda t)$ に従います。

よって

$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(X_2>t|X_1=x)& =& \mathbb{P}(\mathrm{\Lambda }(x+t)–\mathrm{\Lambda }(x)=0|X_1=x)\\ & =& \mathbb{P}(\mathrm{\Lambda }(t)=0|X_1=x)\\ & =& \mathbb{P}(\mathrm{\Lambda }(t)=0)\\ & =& e^{-\lambda t}\end{array}$

となります。

$\mathbb{P}(X_2>t)$ が求められる

以上を踏まえると、

$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(X_2>t)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda t}{f}_{X_1}(x)dx\\ & =& e^{-\lambda t}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}_{X_1}(x)dx\\ & =& e^{-\lambda t}\end{array}$

ここで重要なのは $x$ （最初の到着時刻）が式変形の結果消えたということです。

これは

であることを意味します。

確率分布を求める

上の結果の余事象を取ると、累積分布関数が求められます。

$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(X_2\le t)& =& 1-\mathbb{P}(X_2>t)\\ & =& 1-e^{-\lambda t}\end{array}$

これは先ほどとまったく同じ指数分布 $\mathcal{E}(\lambda )$ の累積分布関数なので

です。

すべての到着間隔は指数分布 $\mathcal{E}(\lambda )$ に従う

以上を再帰的に繰り返すと、到着間隔 $\{X_i\}$ は

ということがわかります。

つまり、

であることが導かれました！

ポアソン過程は到着間隔が指数分布に従う再生過程

ポアソン過程はもともと時刻 $t$ までの到着数を表していたので、上の結果を合わせると

という再生過程の定義を満たします。

さらに、到着間隔は

に従うということも導かれました。

以上より、

ポアソン過程は到着間隔が指数分布に従う再生過程

であることが結論付けられます。