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ポアソン過程は、
- 独立増分を備え
- ポアソン分布 $Pois(\lambda t)$ に従う
時刻 $t$ に関する計算過程 $\Lambda (t)$ として定義されます。
ポアソン過程の基本について、詳しくはこちらで分かりやすく解説しています。
そんなポアソン過程には、到着率と呼ばれる値があります。
到着率は、$\lambda$ で表記されることが多いです。
そこで今回は、その「到着率」についてコンパクトにまとめてみました!
ポアソン過程の到着率とは
そもそもポアソン過程とは、
ある時刻までに希少現象が発生した回数の総和
を表す確率過程です。
来店人数を例に考える
例えば、時刻 $t$ までに店に来客した累計人数を $\Lambda (t) $ とすると、$\Lambda (t)$ はポアソン過程です。
参考 なぜ希少事象の発生回数がポアソン過程なのか、なぜ店への来客が希少事象と考えられるのか、といった基本はこちらで解説しています。
到着率の意味
累計到着人数の例を踏まえると、到着率は文字通り
単位時間あたりの到着確率
を表します。
そのままですね!
ポアソン過程の到着率とポアソン分布のパラメータ
ポアソン過程 $\Lambda (t)$ は、冒頭でも紹介したように
ポアソン分布 $Pois(\lambda t)$
に従います。
ここで、$\lambda > 0$ は正のパラメータです。
数式で書くと
$\Lambda(t) \sim Pois(\lambda t)$
ですね。
実は、ポアソン過程の到着率は
ポアソン分布のパラメータ $\lambda$ と等しい
という関係があります。
つまり、ポアソン分布 $\Lambda (t)$ がポアソン分布 $Pois(\lambda t)$ に従うなら、到着率は $\lambda$ だといえます。
なぜ到着率とポアソン分布のパラメータが等しいのか
なぜポアソン分布のパラメータを到着率として考えていいかは、少し式変形をすれば簡単に分かります。
まず、ポアソン過程には
という性質があるため、到着率は単位時間で1人が到着する確率になります。
微小時間 $h$ で1人が到着する確率
微小時間 $h$ で1人が到着することは
$\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) = 1$
と表されるので、微小時間で1人が到着する確率は
$\mathbb{P} (\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) = 1)$
となります。
ここで、ポアソン過程の定常増分性から、
$\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) \sim Pois(\lambda h)$
が成り立つので、
$\mathbb{P} (\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) = 1) = \lambda h e^{-\lambda h}$
となります。
微小時間から単位時間に変換
以上を踏まえると、単位時間で1人が到着する確率は上の式を $h$ で割ればいいので
$\displaystyle \frac{\mathbb{P} (\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) = 1)}{h} = \lambda e^{-\lambda h}$
ですね。
極限を取る
これまでは微小時間 $h$ から始まった話だったので、最後に $h \rightarrow 0$ の極限を取れば到着率が求められます。
$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \lambda e^{-\lambda h} = \lambda$
到着率が $\lambda$ だと求められました!
ゆえに、ポアソン過程の到着率は
ポアソン分布のパラメータ $\lambda$ と等しい
です。
まとめ
今回は、ポアソン過程の到着率を解説しました。
こうして数式で紐解いていくと説得力がありますね!
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