ポアソン過程の到着率とポアソン分布のパラメータの関係

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ポアソン過程は、

1. 独立増分を備え
2. ポアソン分布 $Pois(\lambda t)$ に従う

時刻 $t$ に関する計算過程 $\mathrm{\Lambda }(t)$ として定義されます。

とみー

ポアソン過程の基本について、詳しくはこちらで分かりやすく解説しています。

そんなポアソン過程には、到着率と呼ばれる値があります。

そこで今回は、その「到着率」についてコンパクトにまとめてみました！

ポアソン過程の到着率とは

そもそもポアソン過程とは、

を表す確率過程です。

来店人数を例に考える

例えば、時刻 $t$ までに店に来客した累計人数を $\mathrm{\Lambda }(t)$ とすると、$\mathrm{\Lambda }(t)$ はポアソン過程です。

参考 なぜ希少事象の発生回数がポアソン過程なのか、なぜ店への来客が希少事象と考えられるのか、といった基本はこちらで解説しています。

ポアソン過程とポアソンの極限定理をわかりやすく解説！

どうも！初めましての方は初めまして、初心者のWebサイト勉強のとみーです！ 待ち行列理論では、ポアソン過程と呼ばれる確率過程がよく登場します。 確率過程は、簡単にいうと時刻

https://www.beginner-blogger.com/poisson-process/

, 1, \cdots, t, \cdots$ の確率変数を集...

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到着率の意味

累計到着人数の例を踏まえると、到着率は文字通り

を表します。

とみー

そのままですね！

ポアソン過程の到着率とポアソン分布のパラメータ

ポアソン過程 $\mathrm{\Lambda }(t)$ は、冒頭でも紹介したように

に従います。

とみー

ここで、$\lambda >0$ は正のパラメータです。

数式で書くと

$\mathrm{\Lambda }(t)\sim Pois(\lambda t)$

ですね。

実は、ポアソン過程の到着率は

という関係があります。

つまり、ポアソン分布 $\mathrm{\Lambda }(t)$ がポアソン分布 $Pois(\lambda t)$ に従うなら、到着率は $\lambda$ だといえます。

なぜ到着率とポアソン分布のパラメータが等しいのか

なぜポアソン分布のパラメータを到着率として考えていいかは、少し式変形をすれば簡単に分かります。

まず、ポアソン過程には

という性質があるため、到着率は単位時間で１人が到着する確率になります。

微小時間 $h$ で１人が到着する確率

微小時間 $h$ で１人が到着することは

$\mathrm{\Lambda }(t+h)–\mathrm{\Lambda }(t)=1$

と表されるので、微小時間で１人が到着する確率は

$\mathbb{P}(\mathrm{\Lambda }(t+h)–\mathrm{\Lambda }(t)=1)$

となります。

ここで、ポアソン過程の定常増分性から、

$\mathrm{\Lambda }(t+h)–\mathrm{\Lambda }(t)\sim Pois(\lambda h)$

が成り立つので、

$\mathbb{P}(\mathrm{\Lambda }(t+h)–\mathrm{\Lambda }(t)=1)=\lambda h{e}^{-\lambda h}$

となります。

微小時間から単位時間に変換

以上を踏まえると、単位時間で１人が到着する確率は上の式を $h$ で割ればいいので

${\displaystyle \frac{\mathbb{P}(\mathrm{\Lambda }(t+h)–\mathrm{\Lambda }(t)=1)}{h}=\lambda e^{-\lambda h}}$

ですね。

極限を取る

これまでは微小時間 $h$ から始まった話だったので、最後に $h\to 0$ の極限を取れば到着率が求められます。

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\lambda e^{-\lambda h}=\lambda }$

とみー

到着率が $\lambda$ だと求められました！

ゆえに、ポアソン過程の到着率は

です。

まとめ

今回は、ポアソン過程の到着率を解説しました。

とみー

こうして数式で紐解いていくと説得力がありますね！