基本再生定理とは？導出から解釈までわかりやすく解説

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再生過程には、再生過程と再生関数の極限に関する性質を示す基本再生定理（Elementary Renewal Theorem：ERT）という定理が存在します。

イメージをしやすくするために、電車の到着を題材として

という風に変数を置きます。

図にすると、次のような感じです。

基本再生定理（ERT）とは

基本再生定理の導出・理解のために必要な

についてはじめに押さえましょう。

確率変数の概収束（ほとんど確実に収束）

基本再生定理は概収束を使った定理なので、概収束のイメージを掴んでおきましょう。

基本再生定理

基本再生定理とは、再生過程・再生関数の極限に関する次の関係のことです。

証明は結構複雑なので後回しにしましょう。

基本再生定理の直感的なイメージ

定理に登場する

1. $\frac{M(t)}{t}$
2. $\frac{m(t)}{t}$

の意味が理解できれば定理の意味はすんなり理解できます。

$\frac{M(t)}{t}$

そもそも $M(t)$ は、時刻 $t$ までの到着数を表しています。

その $M(t)$ を時間 $t$ を割っているので、$\frac{M(t)}{t}$ は到着数の時間平均です。つまり、

を表しています。

${\displaystyle \frac{M(t)}{t}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}\mu }$

$\frac{M(t)}{t}$ が単位時間あたりの到着数を表すので、時間に関する極限を取った $\frac{M(t)}{t}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}$ は

を表しています。

下の画像を見るとイメージがつかみやすいと思います。

これが $\mu =\frac{1}{\mathbb{E}[X_n]}$ に収束するというのは、具体例を考えると分かりやすいです。

例えば、到着間隔の期待値が10秒（$\mathbb{E}[X_n]=10\Rightarrow \mu =\frac{1}{10}$）だとしましょう。

直感的に考えると、１秒あたりの到着数は $\frac{1}{10}$ となりそうですよね。

もちろん到着にはばらつきがあるので必ず１秒に $\frac{1}{10}$ 回到着するわけではありませんが、基本再生定理の

$${\displaystyle \frac{M(t)}{t}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}\mu }$$

は、十分に時間が経てば確かに１秒あたりの到着数は $\frac{1}{10}$ になるということを示しています。

続いて、$\frac{m(t)}{t}$ についてです。

$\frac{m(t)}{t}$

$m(t)=\mathbb{E}[M(t)]$ なので、$m(t)$ は時刻 $t$ の時点でどれくらい到着していることが見込まれるかを表しています。

その $m(t)$ を時間 $t$ で割った $\frac{m(t)}{t}$ は、

を表しています。

${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{m(t)}{t}=\mu }$

$\frac{m(t)}{t}$ が単位時間あたりに見込まれる到着数を表すので、時間に関する極限を取った $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{m(t)}{t}$ は

を表しています。

これが $\mu =\frac{1}{\mathbb{E}[X_n]}$ に収束するので、

$$\frac{M(t)}{t}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{m(t)}{t}$$

が成り立ちます。

これは、十分に長い時間が経つと

が一致することを表しています。

基本再生定理のイメージはつかめたでしょうか？

以上で説明は終了です。ここからは証明になるので、興味がある方はじっくり読んでみましょう。

基本再生定理①の証明

定理①

$${\displaystyle \frac{M(t)}{t}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}\mu }$$

の証明には、大数の強法則という法則を使います。

大数の強法則

これを踏まえて証明に入ります。

証明

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Z_n}{n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i}{n}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{X_1+\sum _{i=2}^n{X}_i}{n}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{X_1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{i=2}^n{X}_i}{n}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{X_1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n-1}{n}\frac{\sum _{i=2}^n{X}_i}{n-1}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n-1}{n}\frac{\sum _{i=2}^n{X}_i}{n-1}\end{array}$$

定義より $\mathbb{E}[X_i]=\frac{1}{\mu }$ だから、大数の強法則より

$$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{i=2}^n{X}_i}{n-1}=\frac{1}{\mu })& =& 1\end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rcl}\mathbb{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Z_n}{n}=\frac{1}{\mu })& =& \mathbb{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n-1}{n}\frac{\sum _{i=2}^n{X}_i}{n-1}=\frac{1}{\mu })\\ & =& 1\end{array}$$

次に、$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}M(t)<\mathrm{\infty }$ となる確率を考える。

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}M(t)$ は限りなく長い時間が経った時点で到着した電車の本数だから、これが有限だと仮定すると、どこかで電車が到着しなくなることになる。

言い方を変えると、待ち時間が無限大になることになる。数式で書くと、

$$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{Z},X_n=\mathrm{\infty }$$

しかし、これは $\mathbb{E}[X_n]<\mathrm{\infty }$ に矛盾するので、

$$M(t)\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}\mathrm{\infty }$$

先ほどの「$\mathbb{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Z_n}{n}=\frac{1}{\mu })=1$」を利用すると、

$$\mathbb{P}(\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Z_{M(t)}}{M(t)}=\frac{1}{\mu })=1$$

さらに、

$$\begin{array}{rcl}\frac{Z_{M(t)}}{Z_{M(t)+1}}& =& \frac{Z_{M(t)}}{Z_{M(t)}+X_{M(t)+1}}\\ & =& \frac{\frac{Z_{M(t)}}{M(t)}}{\frac{Z_{M(t)}}{M(t)}+\frac{X_{M(t)+1}}{M(t)}}\\ & \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}& \frac{\frac{1}{\mu }}{\frac{1}{\mu }+0}\\ & =& 1\end{array}$$

ここで、$Z_{M(t)}\le t<Z_{M(t)+1}$ より $\frac{Z_{M(t)}}{Z_{M(t)+1}}<\frac{Z_{M(t)}}{t}\le 1$ なので、はさみうちの原理より

$$\frac{Z_{M(t)}}{t}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}1$$

以上より、

$$\begin{array}{rcl}\frac{M(t)}{t}& =& \frac{Z_{M(t)}}{t}\frac{M(t)}{Z_{M(t)}}\\ & =& \frac{Z_{M(t)}}{t}\frac{1}{\frac{Z_{M(t)}}{M(t)}}\\ & \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{a.s.}{\to }}& 1\frac{1}{\frac{1}{\mu }}\\ & =& \frac{1}{\mu }\end{array}$$

基本再生定理②の証明

定理②

$${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{m(t)}{t}=\mu }$$

の証明には、

1. 停止時刻
2. ウォールドの方程式

というものを使います。

停止時刻（Stopping Time）

$n$ 回目のプレイ後にゲームをやめる場合、そのゲームをやめるという決断をするにあたって $n$ 回目までのゲーム結果を考えることはありますが、$n+1$ 回目以降のゲーム結果を考えることはないですよね。

このように、$n$ 回目までの情報には依存するかもしれないけど、

という確率変数が停止時刻です。

ウォールドの方程式

ウォールドの方程式を使うと、次の性質が導かれます。

これを踏まえて証明に入りましょう。

証明

任意の時刻 $t$ において、

$$t<\sum _{i=1}^{M(t)+1}{X}_i$$

が成り立ち、また

$$\sum _{i=1}^{M(t)+1}{X}_i<t+N$$

となるような定数 $N$ が存在する。

よって

$$\begin{array}{rcl}t<\sum _{i=1}^{M(t)+1}<t+N& ⟺& \mathbb{E}[t]<\mathbb{E}[\sum _{i=1}^{M(t)+1}]<\mathbb{E}[t+N]\\ & ⟺& t<\frac{1}{\mu }(m(t)+1)<t+N\\ & ⟺& \mu t-1<m(t)<\mu (t+N)-1\\ & ⟺& \mu -\frac{1}{t}<\frac{m(t)}{t}<\mu (1+\frac{N}{t})-\frac{1}{t}\end{array}$$

ここで

$$\begin{array}{}\mu -\frac{1}{t}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mu \\ \mu (1+\frac{N}{t})-\frac{1}{t}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mu \end{array}$$

だから、はさみうちの原理より

$$\frac{m(t)}{t}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mu$$